Математика, логика, головоломки

Цитата: SYN

Как с терморезистором?

В смысле, с резистором, у которого сопротивление падает со временем, типа, условно терморезистор нагревается от протекающего тока и роняет своё сопротивление, что не совсем корректно, т. к., с какого-то момента заряда, он греться перестанет.
Условно взяв напряжение 1 В, получил энергию заряженного конденсатора 1 Ф 0.5 Дж, а выделившуюся на резисторе - 0.369 Дж.

С Вашей идеей я тоже согласен, хотя, по большому счёту, зачем там вообще резистор нужен - обнуляем его, энергия на нём нулевая, и заряжаем конденсатор гладкой функцией, к примеру, четвертью синуса, в результате чего, мы быстро зарядим конденсатор до полного пикового напряжения синуса, а не будем лишь бесконечно приближаться к напряжению источника, плюс, КПД заряда 100%...

С синусом да, но это без резистора. А вот 0,369, с применением Вашей функции R, у меня почему-то не получилось. Вообще у меня математика такая, собственно она та же самая. Пример который я считал:

Пусть R=1000 Ом, C= 100 мкф. Поднимаем напряжение до 100 В по наклонной прямой линии, видим, что в конденсаторе накапливается 0,5 Джоуля, а на резисторе рассеялось менее 0,1 Джоуля. При ступенчатом воздействии в резистор бы ушли 0,5 Джоуля. Положе наклон - меньше уходит в тепло.

В системе E - напряжение на входе цепи. Первое уравнение считает напряжение на кондере, второе - энергию ушедшую в тепло на резисторе, третье - энергию накопленную кондером, четвертое интегрирует ступеньку для получения линейного роста напряжения (в приведенном примере К=100).

Цитата: SYN

А вот 0,369, с применением Вашей функции R, у меня почему-то не получилось.

Да, может, Маткад глючит - меняя число 4.5, в формуле изменения сопротивления, можно попадать на числа, с которыми интеграл не берётся, что говорит о том, что за точность вычисления вряд ли можно поручиться...

Давайте проанализируем задачу математически - физически, что выше уже частично сделано, как сейчас увидел ... после того как.
Имеем последовательно включённые ЭДС = Е, резистор (который может включать в себя и внутреннее сопротивление источника) R, конденсатор С.
Составим баланс мощностей, то есть, посчитаем количество энергии dE, отданной источником, количество тепла выделившегося на резисторе dQ, количество энергии полученной конденсатором dWc за бесконечно малый промежуток времени dt в произвольный момент времени.
Пусть в момент Т напряжение на конденсаторе Uc, тогда
ток в цепи
i = (E - Uc)/R
Работа источника
dE = E*i*dt
Джоулево тепло
dQ = i^2 * R
Прирост энергии конденсатора
dWc = Uc*i*dt
Закон сохранения энергии
dE = dQ + dWc
Подставляем ток всюду
dE = E*((E - Uc)/Ri)*dt = (E - Uc)*E*dt/R
dQ = (((E - Uc)/R)^2/R)*dt = (E - Uc)^2*dt/R
dWc = Uc*(E - Uc)*dt/R
Баланс по энергии сходится.
Теперь берём отношение dQ/dWc = (E - Uc)/Uc = E/Uc - 1
Из последнего равенства следует, что выделение тепла на резисторе относительно прироста энергии конденсатора тем меньше, чем меньше отношение E/Uc, в предельном случае, когда Uc стремится к E, получаем, что потери на тепло стремятся к нулю. Отсюда вытекает очевидный вывод, что заряжать конденсатор надо максимально уменьшая ток, соответственно, по мере заряда конденсатора ЭДС источника в этой схеме должно расти вслед за ростом напряжения на конденсаторе, поддерживая минимальную дельту. Напрашивается простое решение - заряжать конденсатор от источника тока, а это и будет линейно нарастающее напряжение на конденсаторе, равно и напряжение на входе резистора.
Осталось решить технический вопрос, а как изменять ЭДС, чтобы не иметь потерь КПД в этом месте, или как создать источник тока с максимальным КПД?

Цитата: 6Ж2П

Напрашивается простое решение - заряжать конденсатор от источника тока,

Да, с генератором тока еще проще получается. I - константа пока конденсатор не зарядится до сотни вольт, потом I=0. Про КПД тут вопрос, думаю, теоретический был. Понятно, что ради зарядки кондера в какой-то маломощной схеме этим никто заниматься не будет. В каких-то промышленных установках, как сейчас вспоминаю, при испытании высоковольтных кабелей используют плавный подъем напряжения кенотрона, там используется простой автотрансформатор с "крутилкой", либо можно ступеньками, если трансформатор переключаемый (емкость там сам кабель). Или, в других установках, какой-то ШИМ может быть с обратной связью по току или, если поднимать напряжение, с растущим управляющим напряжением.

Как спрыгнуть с десятиметровой лестницы и не ушибиться? ::)

Цитата: SYN

Как спрыгнуть с десятиметровой лестницы и не ушибиться?

Не поднимать её вертикально...
На землю положить, и прыгать.

Можно и поднять. Но тогда спрыгнуть с метровой высоты. Лестница-то все равно 10 метровая.

Апгебраисты к вопросу о корнях из комплексных чисел подходят так. Вводится понятие первообразного корня

Первообразные корни
Корень ε n-й степени из 1 называется первообразным, или примитивным, если ε ≠ 1 для
любого натурального m < n (т. е. ε не является корнем из единицы никакой меньшей степени).
В данном случае говорят также, что ε принадлежит показателю n. Из определения сразу
вытекает, что произвольное число ε может принадлежать лишь одному показателю. Легко
видеть, что

ε₁ = cos(2*pi/n) + i*sin(2*pi/n)

является первообразным корнем n-й степени из 1.

Для того, чтобы корень ε n-й степени из 1 являлся первообразным,
необходимо и достаточно, чтобы величины

ε, ε², . . . , εⁿ⁻¹, εⁿ = 1

исчерпывали все значения ⁿ√1. Это утверждение эквивалентно тому, что они попарно различны.

Если ε первообразный корень n-й степени из 1, тогда для того, чтобы ε^k был также первообразным n-й степени, необходимо и достаточно, чтобы НОД(n, k) = 1.

Теперь, чтобы получить все значения корня, достаточно взять один корень, который выдаёт компилятор и умножить это значение на все комплексные корни соответствующей степени из 1.

Заморочки начинаются, как я вижу, когда вместо целочисленного значения корня, имеем дробное значение. Поскольку извлечение целочисленного корня эквивалентно возведению в рациональную степень вида 1/n, то следует разобраться с тем, что делать, когда показатель степени имеет вид m/n, где m целое, а n натуральное и дробь неприводима, естественно. Беря сначала целочисленный корень из 1 мы получаем n корней, распределённых по окружности единичного радиуса, а возводя затем в степень m мы умножаем arg(z) каждого из корней на m, что эквивалентно повороту соответствующего вектора m-1 раз по окружности на угол arg(z). При этом придётся переходить с единичной окружности на плоскости к римановым поверхностям, которые представляют из себя набор плоскостей стопкой, которые разрезаны по лучу [0, ∞) и далее склеены предыдущая с последующей по линии разреза. Тогда в результате возведения в степень m мы для ряда корней начнём переходить на другие плоскости, накручивая их по этой "винтовой лестнице".
А вот далее непонятно что с понятием математического предела. Если рассмотреть степень уже иррациональную, то в классическом матанализе мы можем построить бесконечную последовательность рациональных дробей, сходящуюся к этому значению. Например, эту последовательность легко составить на основе цепных дробей, обрывая дробь и сворачивая всё дальше и дальше (она бесконечна). Таким образом мы получим множество дробей у которой и числитель и знаменатель стремятся к бесконечности. Но стремление числителя к бесконечности будет означать, что корни будут уходить по этой "лестнице" тоже в бесконечность, а стремление знаменателя к бесконечности будет означать, что шаг arg(z) на единичной окружности будет всё более мелким и корни стремятся заполнить всю окружность, образуя всюду плотное множество. А как тогда вводить понятие математического предела для комплексного числа такого вида?

Был неправ. Всюду плотное множество получится, если рассматривать проекцию всех значений на круг единичного радиуса, а так, просто бесконечное значение корней на поверхности Римана. Вообще странно, то ли забыл, то ли не давали нам этого на курсе ТФКП

Из сети:
Племя аборигенов захватило путешественника. Вождь приговорил его к смерти, но решил дать ему последнее слово и выбрать способ казни. Страннику разрешили сказать только одну фразу: если его слова окажутся правдой, его сбросят со скалы, а если ложью — отдадут львам на растерзание. Но путешественник смог схитрить и подобрать такую фразу, которая помогла ему остаться в живых и подарила свободу. Что это за фраза?